14-最长公共前缀(二分、分治)

14. 最长公共前缀

法一：横向扫描

用 $LCP(S_1,…,S_n)$ 表示字符串 $S_1,…,S_n$的最长公共前缀，可得

基于该结论可得到一种查找字符串数组中的最长前缀的简单方法。依次遍历字符串中的每个字符串。对于每个遍历到的字符串，更新最长公共前缀，当遍历完所有的字符串以后，即可得到字符串数组中的最长公共前缀。

如果在尚未遍历完所有的字符串时，最长公共前缀已经是空串，则最长公共前缀一定是空串，因此不需要继续遍历

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
class Solution {
    public String longestCommonPrefix(String[] strs) {
        if(strs == null || strs.length==0){
            return "";
        }

        String prefix = strs[0];
        int count = strs.length;

        
        for(int i = 1;i < count;i++){
            prefix = longestCommonPrefix(prefix, strs[i]); 
            if(prefix.length() == 0){
                break;
            }
        }
        return prefix;
    }

    public String longestCommonPrefix(String str1, String str2){
        int length = Math.min(str1.length(), str2.length());
        int index = 0;
        while(index<length && str1.charAt(index) == str2.charAt(index)){
            index++;
        }
        return str1.substring(0,index);
    }

}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
class Solution:
    def longestCommonPrefix(self, strs: List[str]) -> str:
        if not strs:
            return ""

        prifix , count = strs[0], len(strs)

        for i in range(1,count):
            prifix = self.lcp(prifix, strs[i]);
            if not prifix:
                break
        return prifix

    def lcp(self, str1,str2):
        length, index = min(len(str1), len(str2)), 0
        while index < length and str1[index] == str2[index]:
            index+=1
        return str1[:index]

复杂度：

  • 时间$O(mn)$ m是字符串数组中的字符串的平均长度，n是字符串的数量。最坏情况下，字符串数组中的每个字符串的每个字符都会被比较一次。
  • 空间 $O(1)$

法二：纵向扫描

方法一是横向扫描，依次遍历每个字符串，更新最长公共前缀。另一种方法是纵向扫描。

纵向扫描时，从前往后遍历所有字符串的每一列，比较相同列上的字符是否相同。

如果相同则继续对下一列进行比较，如不相同则当前列不再属于公共前缀，当前列之前的部分为最长。

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
class Solution {
    public String longestCommonPrefix(String[] strs) {
        if(strs==null || strs.length==0){
            return "";
        }
        int length = strs[0].length();
        int count = strs.length;

        for(int i=0;i<length;i++){
            char c = strs[0].charAt(i);
            for(int j=1;j<count;j++){
                if(i==strs[j].length() || strs[j].charAt(i)!=c){
                    return strs[0].substring(0,i);
                }
            }
        }
        return strs[0];
    }
}

复杂度分析

  • 时间复杂度 $O(mn)$ 其中 m 是字符串数组中的字符串的平均长度，n是字符串的数量
  • 空间 $O(1)$

方法三：分治

注意到 LCP 的计算满足结合律，有以下结论：

其中$LCP(S_1,…,S_n)$ 是字符串 $S_1,…,S_n$ 的最长公共前缀，$1<k<n$

基于上述结论，可以使用分治法得到字符串数组中的最长公共前缀。对于问题 $LCP(Si,…,S_j)$，可以分解成两个子问题 $LCP(S_i,…,S{mid})$ 与$LCP(S_{mid+1},…,S_j)$

其中 $mid = \frac{i+j}{2}$ 对两个子问题分别求解，然后对两个子问题的解计算最长公共前缀，即原问题的解。

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
class Solution {
    public String longestCommonPrefix(String[] strs) {
        if(strs==null || strs.length==0){
            return "";
        }

        return longestCommonPrefix(strs, 0, strs.length-1);
    }


    public String longestCommonPrefix(String[] strs, int start, int end){
        if(start == end){
            return strs[start];
        }
        int mid = (end - start) / 2 + start;
        String lcpLeft = longestCommonPrefix(strs, start, mid);
        String lcpRight = longestCommonPrefix(strs, mid+1, end);
        
        int minLength = Math.min(lcpLeft.length(), lcpRight.length());
        for(int i=0;i<minLength;i++){
            if(lcpLeft.charAt(i) != lcpRight.charAt(i)){
                return lcpLeft.substring(0,i);
            }
        }
        return lcpLeft.substring(0,minLength);
    }


}

时间复杂度：

  • 时间复杂度：$O(mn)$ 其中m 是字符串数组中的字符串的平均长度，n是字符串的数量。

    时间复杂度的递推式是 $T(n) = 2\cdot T(n/2) + O(m)$， 通过计算可得 $T(n) = O(mn)$

  • 空间复杂度 $O(mlogn)$ ，n为字符串数量。空间复杂度取决于递归调用的层数，层数最大为 logn，每层需要 m 的空间存储返回结果。

方法四：二分查找

虽然，最长公共前缀的长度不会超过字符串数组中的最短字符串的长度。

用 minLength 表示字符串数组中的最短字符串长度，则可以再 $[0,minLength]$ 的范围内通过二分查找找到最长公共前缀的长度。每次取查找范围的中间值mid， 判断每个字符串的长度为mid 的前缀是否相同，如果相同则最长公共前缀的长度一定大于或等于 mid， 如果不相同则最长公共前缀的长度一定小于mid， 通过上述方式将查找范围缩小一半，直到得到最长公共前缀的长度。

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
class Solution {
    public String longestCommonPrefix(String[] strs) {
        if(strs==null || strs.length==0){
            return "";
        }

        int minLength = Integer.MAX_VALUE
        for(String str:strs){
            minLength = Math.min(minLength, str.length());
        }
        int low = 0, high=minLength;
        while(low < high){
            int mid = (high - low + 1) /2 + low;
            if(isCommonPrefix(strs, mid)){
                low = mid;
            }else{
                high = mid-1;
            }
        }
        return strs[0].substring(0,low);
    }

    public boolean isCommonPrefix(String[] strs, int length){
        String str0 = strs[0].substring(0, length);
        int count = strs.length;
        for(int i=1;i<count;i++){
            String str = strs[i];
            for(int j=0;j<length;j++){
                if(str0.charAt(j) != str.charAt(j)){
                    return false;
                }
            }
        }
        return true;
    }

}