120三角形最小路径和

题目描述

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给定一个三角形，找出自顶向下的最小路径和。
每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。

相邻的结点 
在这里指的是 下标 与 上一层结点下标 相同或者等于 上一层结点下标 + 1 的两个结点。

 

例如，给定三角形：

[
     [2],
    [3,4],
   [6,5,7],
  [4,1,8,3]
]
自顶向下的最小路径和为 11（即，2 + 3 + 5 + 1 = 11）。

 

说明：

如果你可以只使用 O(n) 的额外空间（n 为三角形的总行数）来解决这个问题，

分析

若定义 f(i,j) 为 (i, j)点到底边的最小路径和，则递归求解式为：

由此，将任一点到底边的最小路径和，转化为了与该点相邻两点到底边的最小路径和中的较小值，再加上该点本身的值。

得出(解一) 递归解法。

解一（递归）

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public int minimumTotal(List<List<Integer>> tri){
  return dfs(tri,0,0);
}
private int dfs(List<List<Integer>> tri, int i, int j){
  if (i==tri.size()) return 0;
  return Math.min(dfs(tri,i+1,j), dfs(tri,i+1, j+1)) + tri.get(i).get(j);
}

缺点：暴力搜索会有大量重复计算，引出解法二，结合记忆化数组进行优化。

解法二：(递归+记忆化)

定义一个二位数组用来记忆化

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Integer[][] memo;

public int minimumTotal(List<List<Integer>> tri){
  memo = new Integer[tri.size()][tri.size()];
  return dfs(tri,0,0);
}
private int dfs(List<List<Integer>> tri, int i, int j){
  if(i==tri.size()) return 0;
  if(memo[i][j]!=null) return memo[i][j];
  return memo[i][j] = Math.min(dfs(tri, i+1, j), dfs(tri, i+1, j+1)) + tri.get(i).get(j);
}

时间复杂度：$O(N^2)$，N为三角形的行数。
空间复杂度：$O(N^2)$，N为三角形的行数。

动态规划

定义二维 dp 数组，将解法二中「自顶向下的递归」改为「自底向上的递推」。

状态表示：$dp[i][j]$ 表示从点 $(i,j)$ 到底边的最小路径和

状态计算：$dp[i][j] = min(dp[i+1][j] , dp[i+1][j+1]]) + tri[i][j]$

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public int minmumTotal(List<List<Integer>> tri){
  int n = tri.size();
  // dp[i][j] 表示从点(i,j)到底边的最小路径和
  int[][] dp = new int[n+1][n+1];
  // 从三角形的最后一行开始递推
  for(int i=n-1;i>=0;i++){
    for(int j=0;j<=i;j++){
      dp[i][j]=Math.min(dp[i+1][j], dp[i+1][j+1]) + tri.get(i).get(j);
    }
  }
  return dp[0][0];
}

时间复杂度：$O(N^2)$，N为三角形的行数。
空间复杂度：$O(N^2)$，N为三角形的行数。

空间优化

上一个解定义了一个N行N列的 dp数组

但实际递推中发现，计算 $dp[i][j]$ 时，只用到了下一行的 $dp[i+1][j] 和 dp[i+1][j+1]$

因此dp 数组不需要定义N行，只需定义1行

把 $i$ 所在维度去掉，将就可以将 $O(N^2)$ 的空间复杂度优化成$ O(N)$

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public int minimumTotal(List<List<Integer>> tri) {
 	int n = tri.size();
  int[] dp = new int[n+1];
  for(int i=n-1; j>=0; i--){
    for(int j=0;j<=i; j++){
      dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j+1]) + tri.get(i).get(j);
    }
  }
  return dp[0];
}